Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Możemy obliczyć pochodną funkcji pochodnej. W ten sposób otrzymujemy pochodną rzędu drugiego zadanej funkcji, a także pochodne wyższych rzędów. Pojęcie pochodnych wyższych rzędów znajduje zastosowanie między innymi we wzorze Taylora, który umożliwia przybliżanie funkcji w lepszy sposób niż robi to różniczka funkcji czy geometrycznie styczna.
Niech \( n\in\mathbb{N} \).
o ile funkcja \( f^{(n-1)} \) jest określona w otoczeniu punktu \( x_0 \) i istnieje pochodna funkcji \( f^{(n-1)} \) w punkcie \( x_0 \). Przyjmujemy, że \( f^{(1)}(x_0)=f^{\prime}(x_0) \).
Pochodną (właściwą) rzędu \( n \) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) (lub pochodną \( n \)-tego rzędu funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \)) oznaczamy przez \( f^{(n)}(x_0) \) i definiujemy jako
\( f^{(n)}(x_0)=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}(x_0)\quad \text{ dla }n\geq 2, \)
Definicja 2: Funkcja pochodna rzędu \( n \)
Funkcję określoną w przedziale \( I \), której wartości w punktach \( x\in I \) są równe \( f^{(n)}(x) \), nazywamy funkcją pochodną rzędu \( n \) funkcji \( f \) w przedziale \( I \) lub pochodną \( n \)-tego rzędu funkcji \( f \) w przedziale \( I \), lub też \( n \)-tą pochodną funkcji \( f \) w przedziale \( I \) i oznaczamy \( f^{(n)} \) dla \( n\in \mathbb{N} \).
Uwaga 1:
Pochodne wyższych rzędów oznaczamy również w następujący sposób:
Ponadto przyjmuje się oznaczenie:
\( f^{(2)}(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0), \)
\( f^{(3)}(x_0)=f^{\prime\prime\prime}(x_0). \)
\( f^{(0)}(x_0)=f(x_0). \)
Uwaga 2:
Dla istnienia pochodnej rzędu \( n \) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) konieczne jest istnienie \( f^{(n-1)} \) w pewnym otoczeniu punktu \( x_0 \). Natomiast dla istnienia pochodnej rzędu \( n \) funkcji \( f \) w przedziale otwartym \( I \) konieczne jest istnienie \( f^{(n-1)} \) w tym samym przedziale otwartym \( I \), ponieważ dla każdego punktu z przedziału otwartego istnieje otoczenie tego punktu, które zawiera się w tym przedziale. Są to warunki konieczne istnienia pochodnej rzędu \( n \), ale nie są to warunki wystarczające, czyli jest możliwa sytuacja, gdy istnieje pochodna rzędu \( n-1 \) danej funkcji, ale pochodna rzędu \( n \) już nie.
Uwaga 3:
Indukcyjnie również definiujemy pochodne jednostronne wyższego rzędu:
Definicja 3: Pochodna lewostronna rzędu \( n \) funkcji w punkcie
Niech \( n\in\mathbb{N} \).
o ile funkcja \( f^{(n-1)} \) jest określona w otoczeniu lewostronnym punktu \( x_0 \) i istnieje pochodna lewostronna funkcji \( f^{(n-1)} \) w punkcie \( x_0 \). Przyjmujemy, że \( f^{(1)}_{-}(x_0)=f^{\prime}_{-}(x_0) \).
Pochodną lewostronną (właściwą) rzędu \( n \) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy przez \( f^{(n)}_{-}(x_0) \) i definiujemy jako
\( f^{(n)}_{-}(x_0)=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}_{-}(x_0)\quad \text{ dla }n\geq 2, \)
Definicja 4: Pochodna prawostronna rzędu \( n \) funkcji w punkcie
Niech \( n\in\mathbb{N} \).
o ile funkcja \( f^{(n-1)} \) jest określona w otoczeniu prawostronnym punktu \( x_0 \) i istnieje pochodna prawostronna funkcji \( f^{(n-1)} \) w punkcie \( x_0 \). Przyjmujemy, że \( f^{(1)}_{+}(x_0)=f^{\prime}_{+}(x_0) \).
Pochodną prawostronną (właściwą) rzędu \( n \) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy przez \( f^{(n)}_{+}(x_0) \) i definiujemy jako
\( f^{(n)}_{+}(x_0)=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}_{+}(x_0)\quad \text{ dla }n\geq 2, \)
Pochodną wyższego rzędu w przedziale definiujemy analogicznie do pochodnej rzędu pierwszego w przedziale:
Definicja 5: Pochodna rzędu \( n \) funkcji w przedziale
Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale otwartym \( (a,b) \) , gdzie \( -\infty\leq a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale domkniętym \( [a,b] \) , gdzie \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale otwartym \( (a,b) \) i pochodną prawostronną rzędu \( n \) w \( a \) i pochodną lewostronną rzędu \( n \) w \( b \).
Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale \( (a,b] \) , gdzie \( -\infty\leq a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale otwartym \( (a,b) \) i pochodną lewostronną rzędu \( n \) w \( b \).
Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale \( [a,b) \) , gdzie \( -\infty\lt a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w przedziale otwartym \( (a,b) \) i pochodną prawostronną rzędu \( n \) w \( a \).Przykład 1:
Obliczyć pochodną rzędu drugiego (czyli drugą pochodną) funkcji \( f(x)=e^{x^2} \) oraz pochodną rzędu trzeciego (czyli trzecią pochodną) funkcji \( g(x)=x^3 \).
\( \begin{aligned}f^{\prime\prime}(x)=&(e^{x^2})^{\prime\prime}=(e^{x^2}2x)^{\prime}=e^{x^2}2x2x+e^{x^2}2=e^{x^2}(4x^2+2)\\ g^{\prime\prime\prime}(x)=&(x^3)^{\prime\prime\prime}=(3x^2)^{\prime\prime}=(3\cdot 2x)^{\prime}=3\cdot 2\cdot 1=6\end{aligned} \)
Zauważmy, że gdybyśmy policzyli piątą pochodną funkcji \( x^5 \) otrzymamy też liczbę: \( 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5! \). I tak dalej. Są to szczególne przypadki następującej obserwacji:
Uwaga 4:
Niech \( W_n \) będzie wielomianem stopnia \( n\in\mathbb{N} \) o współczynniku \( a_n \) przy \( x^n \), czyli \( W_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0 \). Wtedy:
\( W^{(n)}_n(x)=n!\cdot a_n, \)
\( W^{(n+1)}_n(x)=0. \)
Wykorzystując pochodne wyższych rzędów możemy sformułować twierdzenie o wzorze Taylora.
Twierdzenie 1: o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a
Jeżeli
gdzie \( R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \).
- funkcja \( f \) ma ciągłą pochodną (właściwą) rzędu \( n \) w przedziale \( [ x_0, x] \),
- funkcja \( f \) ma pochodną (właściwą) rzędu \( n+1 \) w przedziale \( ( x_0, x) \),
to
istnieje \( c\in ( x_0, x) \) takie, że
\( f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n, \)
Twierdzenie jest prawdziwe również dla przedziału \( [ x, x_0] \).
Twierdzenie 2: o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a
Jeżeli
gdzie \( R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \).
- funkcja \( f \) ma ciągłą pochodną (właściwą) rzędu \( n \) w przedziale \( [ x, x_0] \),
- funkcja \( f \) ma pochodną (właściwą) rzędu \( n+1 \) w przedziale \( ( x, x_0) \),
to
istnieje \( c\in ( x, x_0) \) takie, że
\( f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n, \)
Uwaga 5:
Wyrażenie
nosi nazwę wielomianu Taylora stopnia \( n \) w punkcie \( x_0 \), natomiast
jest nazywane \( n \)-tą resztą Lagrange'a w punkcie \( x_0 \).
\( f(x_0)+\frac{f^{\prime}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n} \)
\( R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \)
Uwaga 6:
Wzór Taylora dla \( x_0=0 \), czyli wzór postaci:
gdzie \( R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1} \), a \( c \) leży między liczbami \( 0 \) i \( x \), nosi nazwę wzoru Maclaurina.
Analogicznie do wzoru Taylora w ogólnej postaci wyrażenie
nosi nazwę wielomianu Maclaurina stopnia \( n \), natomiast
jest nazywane \( n \)-tą resztą Lagrange'a.
\( f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_{n}, \)
\( f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} \)
\( R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1} \)
Przykład 2:
Wyznaczmy wzór Taylora dla funkcji \( f(x)=2^x \) w \( x_0=1 \) z resztą \( R_5 \) oraz dla funkcji \( g(x)=\sin x \) w \( x_0=\pi \) z resztą \( R_5 \) i \( R_6 \).
Dla funkcji \( f \) mamy:
i tak dalej, zatem dla \( n\in\mathbb{N} \):
Stąd
gdzie \( R_5=\frac{2^c(\ln 2)^6}{6!}(x-1)^6 \), a \( c \) leży między argumentami \( x \) i \( 1 \).
Zatem
gdzie \( R_5=\frac{-\sin c}{6!}(x-\pi)^6 \), a \( c \) leży między argumentami \( x \) i \( \pi \).
gdzie \( R_6=\frac{-\cos \hat{c}}{7!}(x-\pi)^7 \), a \( \hat{c} \) leży między argumentami \( x \) i \( \pi \).
\( \begin{aligned}&f(x)=2^x,&\qquad &f(1)=2,\\ &f^{\prime}(x)=2^x\ln 2,&\qquad &f^{\prime}(1)=2\ln 2,\\ &f^{\prime\prime}(x)=2^x(\ln 2)^2,&\qquad &f^{\prime\prime}(1)=2(\ln 2)^2,\\ &f^{\prime\prime\prime}(x)=2^x(\ln 2)^3,&\qquad &f^{\prime\prime\prime}(1)=2(\ln 2)^3\end{aligned} \)
\( f^{(n)}(x)=2^x(\ln 2)^n,\qquad f^{(n)}(1)=2(\ln 2)^n. \)
\( \begin{aligned}2^x&=&\\&=&2+\frac{2\ln 2}{1!}(x-1)+\frac{2(\ln 2)^2}{2!}(x-1)^2+\frac{2(\ln 2)^3}{3!}(x-1)^3+\\&&+\frac{2(\ln 2)^4}{4!}(x-1)^4+\frac{2(\ln 2)^5}{5!}(x-1)^5+R_5,\end{aligned} \)
Natomiast dla funkcji \( g \) mamy:
\( \begin{aligned}&g(x)=\sin x&\qquad &g(\pi)=0\\ &g^{\prime}(x)=\cos x,&\qquad &g^{\prime}(\pi)=-1,\\ &g^{\prime\prime}(x)=-\sin x,&\qquad &g^{\prime\prime}(\pi)=0,\\ &g^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x,&\qquad &g^{\prime\prime\prime}(\pi)=1,\\ &g^{(4)}(x)=\sin x,&\qquad &g^{(4)}(\pi)=0,\\ &g^{(5)}(x)=\cos x,&\qquad &g^{(5)}(\pi)=-1,\\ &g^{(6)}(x)=-\sin x,&\qquad &g^{(6)}(\pi)=0,\\ &g^{(7)}(x)=-\cos x.&\qquad &\end{aligned} \)
\( \sin x=-\frac{1}{1!}(x-\pi)+\frac{1}{3!}(x-\pi)^3-\frac{1}{5!}(x-\pi)^5+R_5, \)
Natomiast
\( \sin x=-\frac{1}{1!}(x-\pi)+\frac{1}{3!}(x-\pi)^3-\frac{1}{5!}(x-\pi)^5+R_6, \)
Przykład 3:
Wyznaczmy wzór Maclaurina dla funkcji \( f(x)=e^x \) z resztą \( R_5 \) oraz wielomian Maclaurina stopnia \( n \) funkcji \( f \).
Stąd
gdzie \( R_5=\frac{e^c}{6!}x^6 \), a \( c \) leży między argumentami \( x \) i \( 0 \).
Natomiast wielomian Maclaurina stopnia \( n \) funkcji \( f \) ma postać:
czyli
W przypadku wzoru Maclaurina nie mamy podanego \( x_0 \), bo z definicji \( x_0=0 \).
Zauważmy, że dla dowolnego \( n\in\mathbb{N} \):
\( f^{(n)}(x)=e^x\quad\text{ i }\quad f^{(n)}(0)=1. \)
\( e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+R_5, \)
\( 1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+...+\frac{1}{n!}x^n \)
\( \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}. \)
Uwaga 7:
Wzór Taylora pozwala przybliżyć zadaną funkcję wielomianem. Gdy rozważamy wielomian Taylora stopnia pierwszego, to otrzymujemy przybliżenie funkcji analogiczne do przybliżenia przez różniczkę funkcji:
Im wyższy stopień wielomianu Taylora tym dokładniejsze jest przybliżenie funkcji. W szczególności zauważmy, że błąd przybliżenia funkcji przez wielomian Taylora stopnia \( n \) spełnia warunek:
Na podstawie tego wzoru możemy powiedzieć, że błąd jaki popełniamy przybliżając funkcję przez wielomian Taylora stopnia \( n \) dąży do zera szybciej niż \( (x-x_0)^n \). Powyższy wzór możemy również zapisać w postaci: \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n}{(x-x_0)^n}=0 \).
\( f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0). \)
\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-\left(f(x_0)+\frac{f^{\prime}(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}\right)}{(x-x_0)^n}=0. \)
Ilustracją graficzną tej uwagi niech będą wykresy funkcji i ich przybliżeń przez wielomiany Taylora wyliczone w ostatnich przykładach.
Rysunek 1: Wykres funkcji \( f(x)=2^x \) oraz wykres jej wielomianu Taylora stopnia \( 5 \) w \( x_0=1 \).
Zwróćmy uwagę, że dla funkcji \( g(x)=\sin x \) wielomianu Taylora stopnia 5 w \( x_0=\pi \) i wielomianu Taylora stopnia 6 w \( x_0=\pi \) ma identyczną postać, bo \( g^{(6)}(\pi)=0 \).
Rysunek 2: Wykres funkcji \( g(x)=\sin x \) oraz wykres jej wielomianu Taylora stopnia \( 5 \) (lub \( 6 \)) w \( x_0=\pi \).
Rysunek 3: Wykres funkcji \( f(x)=e^x \) oraz wykres jej wielomianu Maclaurina stopnia \( 5 \).
Należy jednak zaznaczyć, że wykresy powyższych funkcji i ich wielomianów Taylora nie pokrywają się w żadnym przedziale.
Dla funkcji różniczkowalnej wystarczająco wiele razy możemy, szacując resztę \( R_n \), ustalić stopnień wielomianu Taylora w punkcie \( x_0 \), tak aby przybliżenie danej funkcji przez ten wielomian Taylora miało zadaną z góry dokładność, czyli błąd przybliżenia był mniejszy lub równy od zadanej wartości. W szczególności przy pomocy wzoru Taylora możemy określić przybliżoną wartość funkcji dla zadanego argumentu z zadaną z góry dokładnością.
Przykład 4:
Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji \( f(x)=e^x \), obliczmy z dokładnością do 0,0001 wartość liczby \( e \). Wielomian Maclaurina stopnia \( n \) funkcji \( f(x)=e^x \) ma postać:
a \( n \)-ta reszta \( R_n=\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1} \), gdzie \( c\in(0,1) \).
Zauważmy, że \( e=e^1=f(1) \). Chcemy określić wartość \( e \) z dokładnością do \( 0,0001 \), czyli aby \( R_n\leq 0,0001 \), zatem
Nie znamy wartości \( c \), wiemy jedynie, że \( c\in(0,1) \), więc \( c \) zastępujemy liczbą, dla której powyższe wyrażenie przyjmie wartość większą lub równą od wartości dla dowolnego \( c\in(0,1) \). Jeżeli tak postąpimy, to nasze oszacowanie błędu będzie dobre niezależnie, jaka jest rzeczywista wartość \( c \). Wiemy, że liczba \( e \) jest mniejsza od 3, zatem \( e^c\lt e^1\lt 3 \) dla każdego \( c\in(0,1) \). W tej sytuacji chcemy, aby
Zauważmy, że \( 7!=5040 \), a \( 8!=40320 \), więc dobrą wartością \( n \) będzie liczba naturalna taka, że \( n+1=8 \). Wnioskujemy stąd, że wystarczy obliczyć wartość wielomianu Maclaurina stopnia 7 dla \( x=1 \) i otrzymamy szukaną przybliżoną wartość
z dokładnością do 0,0001.
\( 1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+...+\frac{1}{n!}x^{n}, \)
\( \frac{e^c}{(n+1)!}1^{n+1}\leq \frac{1}{10000}. \)
\( \frac{3}{(n+1)!}\leq \frac{1}{10000}\Leftrightarrow (n+1)!\geq 30000. \)
\( e\approx 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}=\frac{685}{252} \)